做資料分析的時候經常接觸統計學和概率博弈論，今天我來講幾個比較好玩的數理統計學上的概率悖論：
囚徒悖論
假如，有A、B、C三個人被關在一個監獄裡。第二天，三人中將有一人且只有一人會被執行死刑，另外兩人則會被釋放，而只有監獄的看守知道，明天哪個人將被執行死刑，哪兩個人將會獲釋。
所以，A知道自己會被執行死刑的概率是1/3，B和C至少能有一個人可以活下來。
於是A寫了一封家書，想託B或C中能獲釋的一個人帶出去。A找到了看守，問應該把信交給誰（即B和C到底誰能獲釋）。
看守便說道：“把信交給B吧，明天B肯定會被釋放。”
於是此時A被執行死刑的概率是多少呢？很顯然，第二天會被處死的人只能是A或者是C，所以A被執行死刑的概率就上升到了1/2。
怎麼樣？看出悖論的問題出在哪裡了嗎？
A明明知道B和C中一定會有一個被釋放，為什麼自己不知道這個人是誰時，自已被執行死刑的概率是1/3， 而知道了這個人是誰時，自己被執行死刑的概率就上升到了1/2呢？
或者說，兩人中反正有一個肯定會被釋放，知道不知道這個人的名字為什麼會影響自已被執行死刑的概率呢?
答 案
對於A來說，無論在什麼情況下自己被執行死刑的概率都是1/3 。
我們可以列個表格來看一下：
如果A被執行死刑（這個事的概率是1/3） ，那麼看守可以選擇B或C去告訴A，選A還是選B是等可能的，因此，“A被執行死刑且看守說B會釋放”這件事的概率是1/3的1/2，也就是1/6。
表中的其他情況可以類似的分析。現在我們來看，如果看守告訴A，明天B會被釋放，我們看看此時A被執行死刑的概率是多大。
從表中可以看出，此時只有情況1a或3可能發生，而情況3發生的概率是情況1a發生的概率的2倍，因此，情況1a發生的概率是1/3，而情況3發生的概率是2/3，也就是此時C執行死刑的概率上升了。
撲克牌遊戲悖論
張三有兩張撲克牌：1和10。
李四也有兩張：5和9。
王五也有兩張：3和6。
現在張三和李四玩遊戲：兩人各自從自己的撲克牌中隨機抽出一張，比較數字，大者勝，請問這個遊戲規則公平嗎？
不用說肯定是公平的，因為如果張三摸到1，李四無論摸到哪張都勝，如果張三模到10，李四無論摸到哪張都輸，顯然，張三李四獲勝的概率都是1/2，同理張三和王五玩也是一樣的。
既然遊戲概率是張三=李四，張三=王五，那麼按照傳遞性，結果應該是李四=王五。現在的問題就是：李四和王五玩這個遊戲，規則還是公平的嗎？
答 案
不公平。
按理說，公平也應像相等一樣 ，遊戲概率是有傳遞性的，相等的傳遞性即：A=B，B=C，則A=C。
李四與張三玩遊戲是公平的，且張三與王五玩遊戲是公平的，是否可以得到李四與王五玩遊戲也是公平的呢？
仔細分析一下可以看出，李四與王五玩這個遊戲並不公平。
李四與王五各摸一張牌，會出現四種結果：(5，3)，(5，6)，(9，3)，(9，6)。
這四種結果出現的概率是相等的，四種結果中，只有出現（5，6）這一種結果時，王五才可以獲勝，因此，在這個遊戲中，王五獲勝的概率為1/4，而李四獲勝的概率是3/4
貝特蘭悖論你的一個新朋友家裡恰好有兩個小孩，且至少有一個是女孩，請問：這個家庭有兩個女孩的概率是多少？
這個問題可能很多人都覺得簡單，要麼是一男一女，要麼是兩女，所以有兩個女孩的概率不就是1/2，不過事實真的如此嗎？
答 案
可能是1/2，可能是1/3 。
我們可以這樣理解這個問題：
你問你的新朋友：你有孩子嗎?
答：有兩個。
你再問：有女孩嗎？
答：有
那麼兩個孩子都是女孩的概率是多少？
我們用G表示女孩，B表示男孩，那麼一個家庭有兩個孩子，其性別情況有如下可能：
GG，GB，BG，BB。
這四種情況是等可能的，現在已知一個信息，那就是至少有一個女孩，那麼以上四種情況中，BB這種情況是不可能存在的，於是只剩下另外三種情況，這三種情況同樣是等可能的。兩個女孩(GG)是其中一種，因此，恰好有兩個女孩的概率是1/3 。
很多人看到這裏就會懵逼了，其實還有一種算法：
我們還這樣理解這個問題：
你碰到你的新朋友，她身邊有個小姑娘，你問她：你有小孩嗎？
她回答：有兩個
你再問：有女孩嗎？
她指着身邊的女孩回答：這個就是
那麼，你這位朋友有兩個女孩的概率是多大？
這個問題事實上是：如果你有一個女孩，另-個也是女孩的概率有多大？或者說，你的朋友有兩個小孩子，你見到了一個女孩，那麼沒見到的那個也是女孩的概率是多大？
這時候答案顯然是1/2了。
同樣一個問題，得到的信息也是一樣的，那麼爲什麼會有兩個答案呢？
這就是典型的貝特蘭悖論，答案不同是因爲我們理解前提條件的情況不同，這也就是貝特蘭所提出來的“概率漏洞”。
不過這個漏洞已經被前蘇聯科學家可爾摩戈洛夫攻破了，感興趣的可以自己上網搜搜看。
