你的邏輯能力強不強?來看看數據分析裡那些好玩的悖論

做資料分析的時候經常接觸統計學和概率博弈論,今天我來講幾個比較好玩的數理統計學上的概率悖論:

囚徒悖論

假如,有A、B、C三個人被關在一個監獄裡。第二天,三人中將有一人且只有一人會被執行死刑,另外兩人則會被釋放,而只有監獄的看守知道,明天哪個人將被執行死刑,哪兩個人將會獲釋。

所以,A知道自己會被執行死刑的概率是1/3,B和C至少能有一個人可以活下來。

於是A寫了一封家書,想託B或C中能獲釋的一個人帶出去。A找到了看守,問應該把信交給誰(即B和C到底誰能獲釋)。

看守便說道:“把信交給B吧,明天B肯定會被釋放。”

於是此時A被執行死刑的概率是多少呢?很顯然,第二天會被處死的人只能是A或者是C,所以A被執行死刑的概率就上升到了1/2。

怎麼樣?看出悖論的問題出在哪裡了嗎?

A明明知道B和C中一定會有一個被釋放,為什麼自己不知道這個人是誰時,自已被執行死刑的概率是1/3, 而知道了這個人是誰時,自己被執行死刑的概率就上升到了1/2呢?

或者說,兩人中反正有一個肯定會被釋放,知道不知道這個人的名字為什麼會影響自已被執行死刑的概率呢?

答 案

對於A來說,無論在什麼情況下自己被執行死刑的概率都是1/3 。

我們可以列個表格來看一下:

如果A被執行死刑(這個事的概率是1/3) ,那麼看守可以選擇B或C去告訴A,選A還是選B是等可能的,因此,“A被執行死刑且看守說B會釋放”這件事的概率是1/3的1/2,也就是1/6。

表中的其他情況可以類似的分析。現在我們來看,如果看守告訴A,明天B會被釋放,我們看看此時A被執行死刑的概率是多大。

從表中可以看出,此時只有情況1a或3可能發生,而情況3發生的概率是情況1a發生的概率的2倍,因此,情況1a發生的概率是1/3,而情況3發生的概率是2/3,也就是此時C執行死刑的概率上升了。

撲克牌遊戲悖論

張三有兩張撲克牌:1和10。

李四也有兩張:5和9。

王五也有兩張:3和6。

現在張三和李四玩遊戲:兩人各自從自己的撲克牌中隨機抽出一張,比較數字,大者勝,請問這個遊戲規則公平嗎?

不用說肯定是公平的,因為如果張三摸到1,李四無論摸到哪張都勝,如果張三模到10,李四無論摸到哪張都輸,顯然,張三李四獲勝的概率都是1/2,同理張三和王五玩也是一樣的。

既然遊戲概率是張三=李四,張三=王五,那麼按照傳遞性,結果應該是李四=王五。現在的問題就是:李四和王五玩這個遊戲,規則還是公平的嗎?

答 案

不公平。

按理說,公平也應像相等一樣 ,遊戲概率是有傳遞性的,相等的傳遞性即:A=B,B=C,則A=C。

李四與張三玩遊戲是公平的,且張三與王五玩遊戲是公平的,是否可以得到李四與王五玩遊戲也是公平的呢?

仔細分析一下可以看出,李四與王五玩這個遊戲並不公平。

李四與王五各摸一張牌,會出現四種結果:(5,3),(5,6),(9,3),(9,6)。

這四種結果出現的概率是相等的,四種結果中,只有出現(5,6)這一種結果時,王五才可以獲勝,因此,在這個遊戲中,王五獲勝的概率為1/4,而李四獲勝的概率是3/4

貝特蘭悖論你的一個新朋友家裡恰好有兩個小孩,且至少有一個是女孩,請問:這個家庭有兩個女孩的概率是多少?

這個問題可能很多人都覺得簡單,要麼是一男一女,要麼是兩女,所以有兩個女孩的概率不就是1/2,不過事實真的如此嗎?

答 案

可能是1/2,可能是1/3 。

我們可以這樣理解這個問題:

你問你的新朋友:你有孩子嗎?

答:有兩個。

你再問:有女孩嗎?

答:有

那麼兩個孩子都是女孩的概率是多少?

我們用G表示女孩,B表示男孩,那麼一個家庭有兩個孩子,其性別情況有如下可能:

GG,GB,BG,BB。

這四種情況是等可能的,現在已知一個信息,那就是至少有一個女孩,那麼以上四種情況中,BB這種情況是不可能存在的,於是只剩下另外三種情況,這三種情況同樣是等可能的。兩個女孩(GG)是其中一種,因此,恰好有兩個女孩的概率是1/3 。

很多人看到這裏就會懵逼了,其實還有一種算法:

我們還這樣理解這個問題:

你碰到你的新朋友,她身邊有個小姑娘,你問她:你有小孩嗎?

她回答:有兩個

你再問:有女孩嗎?

她指着身邊的女孩回答:這個就是

那麼,你這位朋友有兩個女孩的概率是多大?

這個問題事實上是:如果你有一個女孩,另-個也是女孩的概率有多大?或者說,你的朋友有兩個小孩子,你見到了一個女孩,那麼沒見到的那個也是女孩的概率是多大?

這時候答案顯然是1/2了。

同樣一個問題,得到的信息也是一樣的,那麼爲什麼會有兩個答案呢?

這就是典型的貝特蘭悖論,答案不同是因爲我們理解前提條件的情況不同,這也就是貝特蘭所提出來的“概率漏洞”。

不過這個漏洞已經被前蘇聯科學家可爾摩戈洛夫攻破了,感興趣的可以自己上網搜搜看。

這是一個專注於數據分析職場的內容部落格,聚焦一批數據分析愛好者,在這裡,我會分享數據分析相關知識點推送、(工具/書籍)等推薦、職場心得、熱點資訊剖析以及資源大盤點,希望同樣熱愛數據的我們一同進步! 臉書會有更多互動喔:https://www.facebook.com/shujvfenxi/

這是一個專注於數據分析職場的內容部落格,聚焦一批數據分析愛好者,在這裡,我會分享數據分析相關知識點推送、(工具/書籍)等推薦、職場心得、熱點資訊剖析以及資源大盤點,希望同樣熱愛數據的我們一同進步! 臉書會有更多互動喔:https://www.facebook.com/shujvfenxi/